La palabra fractal fue derivada por Benoit B. Mandelbrot del adjetivo latín fractus, que significa "romper", y más específicamente, "dividir" para crear fragmentos irregulares.

Básicamente, un fractal es una figura geométrica fragmentada, donde cada una de las partes conserva una relación de similaridad con la figura completa. A partir de ahora llamaremos autoreferencia a esta relación de similaridad.

Aunque han sido estudiados principalmente en el mundo de la matemática, los fractales también pueden ser usados en áreas menos abstractas, como el modelamiento de árboles, nubes, montañas, medición de longitud de las líneas costeras, y en general, cualquier hecho que no sea posible de representar mediante variables geométricas clásicas o euclidianas (como sí lo son los conos de helado, los dados, las pirámides egipcias, etc).

ALGO DE HISTORIA

Desde los inicios de siglo que la idea viene remeciendo el mundo de las ciencias, particularmente en el área de las matemáticas, cuando las primeras aproximaciones de lo que hoy conocemos como fractales fueron formuladas en figuras geométricas como el polvo de Cantor, las curvas de Peano y las de Hilbert.

Esta técnica se basa en la siguiente premisa: los objetos de la naturaleza tienen características irregulares y fragmentada. Si se observa una montana a lo lejos, delineada contra el cielo sigue teniendo la misma aparariencia escalonada si la vemos desde una posición más cercana. Conforme se acerca a la montaña, el detalle más pequeño en los rebordes y piedras individuales se have aparente, y si se acerca aún más, se observarán el contorno de las rocas, etc. En cada paso de acercamiento, el contorno revela más curvas y vueltas. Un grano de arena colocado en un microscopio tendrá también el mismo detalle y se repetirá hasta el nivel molecular.

Los objetos naturales se pueden describir con realismo con los métodos de geometría fractal; estos médodos se consideran procedurales ya que son los procedimientos los que se encargan del modelado y no las ecuaciones. Un objeto fractal tiene dos características:

o infinito detalle en cada punto o tienen autosimilitud entre las partes del objeto y las características totales del mismo

Las propiedades de autosimilitud de un objeto pueden adquirir diferentes formas, dependiendo de la elección de la representación del fractal.

Procedimiento para generar un fractal
Un objeto fractal se genera al aplicar en forma repetida una función de transformación específica a los puntos dentro de una región de espacio.

Si P0=(x0,y0,z0) es un punto inicial seleccionado, cada repetición de una función de transformación F genera niveles sucesivos de detalle con los cálculos

Aplicaciones De Los Fractales
Los avances tecnológicos que han ocurrido desde que se formularon las primeras ideas de ecuaciones autoreferentes y otras teorías matemáticas complejas, han permitido llevar a la práctica muchos conceptos.

Si bien la definición matemática de los fractales necesita de una estadística autoreferente a cualquier resolución, (puesto que los objetos verdaderamente fractales se generan con un número infinito de recursiones), y los objetos fractales generados por un número finito de iteraciones experimentan algunos cambios no visibles después de algunos acercamientos, de todas maneras los modelos fractales que se realizan por computador son muy semejantes al fractal ideal.

Además hay que tomar en cuenta que lo que nosotros vemos de los objetos que queremos modelar, tampoco llega a niveles infinitos. Aun así, la metodología fractal para modelar es bastante útil y muy semejante a la realidad en algunos casos.

Clasificación de fractales
Autosimilares, tienen partes que son versiones en escala reducida del objeto completo. En la fig. 1 se puede observar un ejemplo:

Se puede utilizar el mismo factor de escala (s) para todas las subpartes o se puede utilizar diferentes factores de escala, llamados también determinísticos. Si la variación de escala es aleatoria se dice que el fractal es autosimilar estadísticamente.

Autoafines, tienen partes que se forman con diferentes parámetros de escalación sx, sy, sz en distintas direcciones de coordenadas. Si la variación es aleatoria, se dicen que son autoafines estadísticamente. Se han utilizado para modelar relieves y terrenos (superficies de planetas con montañas y cráteres).

Invariantes, se forman con transformaciones no lineales. Esta clase de fractales incluye los fractales autocuadráticos, tales como el conjunto de Mandelbrot, que se forman con funciones cuadráticas, con solución en los complejos.

Dimensión fractal o dimensión fraccional
Es la cantidad de variación en el detalle de un objeto; algunos autores lo llaman también como la medida de dureza o fragmentación del objeto. A diferencia de la dimensión euclideana, la dimensión fractal no es necesariamente un entero. Por ejemplo, en la geometría euclideana, una línea tiene dimensión 1, un plano tiene dimensión 2, un sólido tiene dimensión 3. Los objetos con mayor apariencia de escalones o fragmentación tendrán dimensiones fractales más grandes.

Gramáticas de formas
Las gramáticas de formas son un conjunto de reglas de producción que se pueden aplicar en un objeto inicial para agregar niveles de detalles que concuerdan con la forma original. Se pueden aplicar transformaciones para alterar la geometría (forma) del objeto, o es posible aplicar las reglas de transformación para agregar detalles de color de la superficie o la textura a la superficie. De esta manera dado un conjunto de reglas de producción, un diseñador puede experimentar al aplicar diferentes reglas en cada paso de la transformación a partir de un objeto inicial.

Gramáticas L-system
Estas gramáticas proporcionan un método para describir las plantas. Por ejemplo, la topología de un arbol se puede describir como un tronco, con algunas ramas y hojas unidas. Así un arbol se puede modelar con reglas para ofrecer una conexión particular de las ramas y hojas de las ramificaciones individuales. La descripción geométrica se da, entonces, al situar las estructuras de los objetos en posiciones coordenadas particulares.

Estos modelos usan lenguajes formales, gramáticas paralelas llamadas L-system (por Lindermayer), para describir algoritmicamente y se parecen mucho a los fractales autosimilares determinísticos. En estas gramáticas las reglas de producción se aplican en paralelo para proveer una frase terminal que describe el objeto. En las L-system, cada símbolo terminal representa una parte del objeto o un comando de dirección para ser interpretado por un mecanismo de dibujo tridimensional. Por ejemplo una frase para describir un árbol contiene palabras que describen cada rama, su largo, su grosor, su textura y el ángulo de ramificación respecto al tronco principal, puede describirse además como evoluciona y todas las formas de conexión de cada objeto al objeto total.

Recientes trabajos realizados en L-systems permiten modelar el desarrollo y evolución de las plantas basados en las características biológicas de las mismas, en cuyo caso a las reglas se les incorporan parámetros de crecimiento, efectos del medio ambiente, contaminación, época del año, etc.

Las gramáticas, como técnica de modelaje se han utilizado en muchos contextos, por ejemplo como generador de instrucciones de la ¨turtle graphics" (Lenguaje Logo) de Papert. En este caso en el alfabeto de la gramáticas, se incluyen como símbolos terminales comandos que deben ser realizados por la tortuga y las reglas de producción generan frases que mediante parámetros escogidos adecuadamente generan una lista de comando que se ingresa a un programa en Logo y se logran artefactos y objetos muy interesantes.

SISTEMAS DE PARTICULAS

Un método para modelar objetos naturales u otros objetos con formas irregulares, que presentan propiedades de "tipo fluido" es el de los sistemas de partículas. Este método es de especial utilidad para describir objetos que cambian con el paso del tiempo por flujo, oleada, rociada o expansión. Los objetos con estas características incluyen nubes, humo fuego, fuego artificiales, cascadas, rocío de agua y montones de hierba.

Se utiliza el proceso aleatorio para generar objetos en alguna región de espacio definida y variar sus parámetros con el paso del tiempo. Las formas de partículas pueden ser esferas, elipsoides, recuadros pequeños u otras formas.

MODELADO CON BASE EN LAS CARACTERISTICAS FISICAS

Un objeto no rígido, como una prenda, un pedazo de tela o una bola de hule suave, se puede representar con métodos de modelado con base en las características físicas que describen el comportamiento del objeto en términos de la interacción de fuerzas externas e internas.

Un método común para modelar un objeto no rígido es aproximar el objeto con una red de nodos de punto con conexiones flexibles entre nodos. Un tipo sencillo de conexión es un resorte. En lugar de utilizar resortes, también podemos modelar las conexiones entre nodos materiales elásticos, entonces reducimos al mínimo las funciones de energía de tensión para determinar la forma del objeto bajo la influencia de fuerzas externas.

Para modelar un objeto no rígido, primero establecemos las fuerzas externas que actúan sobre el objeto. Después, consideramos la propagación de las fuerzas a través de toda la red que representa el objeto.