Fractales: una nueva geometría

1.1- Definición aproximada

El término caos se refiere a una interconexión subyacente que se manifiesta en acontecimientos aparentemente aleatorios. Esta definición es difícil de interpretar ya que el caos no es un concepto fácilmente definible.

Es necesario aclarar desde el comienzo, que la conducta caótica es la agregación de muchas conductas ordenadas. El caos es impredecible, pero determinable. O dicho de otro modo, el caos no es aleatorio, tiene un orden subyacente aunque pueda parecer paradójico.

El caos matemático se presenta cuando se predice por ejemplo el comportamiento de una función pero ésta acaba comportándose de manera extraña aunque podemos intuir de manera aproximada cuan extraña y diferente se comporta de lo predicho.

Por ejemplo imagine que tenemos una función f(x) que hasta x=1000 crece de manera proporcional pero desde el intervalo (1000, ) comienza a comportarse de manera extraña (ya no crece proporcionalmente) y toma el aspecto de una función del tipo seno. El caos se ha manifestado, la función en principio debería de continuar creciendo de manera proporcional sin embargo ahora es una función tipo seno. Cabe mencionar que el caos es “muy sensible” a las condiciones iniciales.

 

1.2- Un caso práctico

Cuando una función se itera muchísimas veces el resultado puede resultar casi imprevisible, dependiendo muy sensiblemente a cualquier variación del valor inicial. Por ejemplo coja un lápiz cualquiera póngalo vertical sobre una superficie llana y espere a que caiga. Repita el proceso pero varíe ligeramente las condiciones iniciales, por ejemplo apoye el lápiz en otro punto y póngalo verticalmente. Caerá en otro lugar.

Otro ejemplo sencillo: vierta el contenido de un vaso y verá como, a pesar de repetir el acto de la misma forma, la forma de expandirse del líquido varía.

Un ejemplo más gráfico del caos se muestra a continuación:

1. Dibujar dos curvas en los mismos ejes. Escoger un punto del eje X. Este punto será el valor inicial.
2. Dibujar una vertical desde ese punto hasta interceptar la parábola.
3. Dibujar una horizontal desde la intercepción hasta llegar a la línea diagonal.
4. Repetir el paso 2 con el último punto obtenido.

 

	Parámetro: C= 1/4 para el valor inicial 0. La línea que se forma se llama órbita, y tiende a 1/2.
	Parámetro = -3/4. Nótese que la órbita se aproxima desde los cuatro lados al punto, pero después de las 1000 iteraciones realizadas todavía queda un punto blanco en el centro: la órbita no ha alcanzado su valor final
	C= -13/16. La órbita comienza a circular alternándose entre -3/4 y -1/4.
	C= -1.3. La órbita oscila en un ciclo cuádruplo entre los valores 1.2996224637, 0.3890185483, -1.1486645691, y 0.0194302923, Esta vez después de sólo 100 iteraciones la órbita parece haber alcanzado su valor final.
	C= -1.4015. Se parece a la gráfica anterior, sin embargo en ésta la órbita nunca pasa por el mismo sitio sino que se ajusta a unas bandas.
	C= -1.8.

De esta serie de experimentos se concluye pues que en los sistemas caóticos una ligera e imperceptible modificación de las condiciones iniciales hace variar el resultado de forma mayúscula.