Fractales: una nueva geometría

3.1- Robert Brown y su partícula Browniana

El botánico Robert Brown en 1827 observó como una partícula cualquiera fluía de manera aleatoria sobre un líquido.

Esta experiencia se puede tener por ejemplo cuando uno está sentado en el cine y observa como el polvo se mueve a través de la luz del proyector.
No sería más que anecdótico sino fuera por qué si apuntamos las coordenadas de una de esas motas de polvo en un instante corto observamos como se puede dibujar una curva con dimensión fractal. Intente dibujar una tangente en esa curva, no podrá.

Es un fractal ya que:
• Su dimensión estará entre alrededor de 2 ya que prácticamente rellena el plano complejo pero no del todo.
• No es autosimilar pero si infinito y complejo.

Este es posiblemente el objeto fractal más sencillo de dibujar.

 

3.2- El triángulo de Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919.

El método de dibujo es el siguiente:

	Partamos (iteración n=0) de la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad.
	Seguidamente (iteración n=1) tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado 1/2. Lo recortamos.
	Ahora (iteración n=2) repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan.
	Así que recortamos, esta vez, tres triángulos invertidos de lado 1/4.
	El proceso se repite infinitamente hasta obtener un triángulo de Sierpinski tan detallado como se deseé.
	Después de 5 iteraciones se obtiene este resultado.

 

En la figura observamos hasta cinco iteraciones sucesivas. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

Existe también otro método de dibujo relacionado estrechamente con el triángulo de Tartaglia. El triángulo de Tartaglia es una forma de ordenar los números.

Recuerde:

		11 121 1331

 

Ahora coloreamos el fondo de los números impares y obtenemos el triángulo de Sierpinski tal y como muestra la figura 2.

El triángulo de Sierpinski es un fractal porque cumple las tres condiciones para que se considere un fractal:
1.- Tiene una dimensión fraccionaria. Es aproximadamente como ya se demostró en el apartado de dimensiones.

 

2.- Es infinito ya que a medida que se realizan más iteraciones se forma mejor el triángulo.
3.- Es autosimilar: este fractal es el ideal de fractal autosimilar a cualquier escala.

3.3- El conjunto de Julia

Iterar una función puede dar resultados muy extraños. Un ejemplo:

Partimos de la función

 

cuando iteramos para los puntos iniciales comprendidos entre

 

 

, es decir, los valores comprendidos entre el número áureo y su valor negativo, tienden a un punto que no es infinito mientras que cuando se itera a partir de un número no comprendido entre el intervalo anterior la iteración tiende directamente al infinito. El programa Iteraciones.java que acompaña al trabajo demuestra la anterior afirmación.

Un ejemplo:
Escojamos un valor dentro del intervalo

 

por ejemplo x=0

x	f(x)
x=0 El valor inicial para la iteración. Nótese que el valor está comprendido en el intervalo .
x=f(0)=-1
x=f(-1)=0

…

Ahora un valor fuera del intervalo , por ejemplo x=-3

x	f(x)
x=-3 El valor inicial para la iteración. Nótese que el valor no está comprendido en el intervalo .
x=f(-3)=-8
x=f(2)=63

 

…

En la iteración número 5

 

Una vez visto el poder, de nuevo, que muestra una simple función polinómica iterada pasemos a iterar la función con números complejos y a representar en un plano complejo los resultados de la manera que sigue. La nueva función, ahora compleja, es

 

Método de dibujo:
1.- Se selecciona un área del plano complejo por ejemplo de (10+10i), (10-10i) a (-10+10i), (-10-10i). Figura 3. Recuerde que en el plano complejo en el eje x se representa la parte real del número complejo y en el eje y se representa el valor imaginario del número complejo.

Figura 3

 

2.- Elegimos cada punto del plano complejo y lo iteramos. El proceso iterativo consistiría en escoger todos los puntos delimitados por nuestra área del plano complejo en introducirla en la fórmula . Para el primero proceso podría ser elegido el punto (10+10i).
La iteración sería aproximadamente:

 

 

3.- Al realizar unas 1000 iteraciones se comprueba si el punto es próximo al infinito. Para ganar velocidad en el proceso de dibujo se suelen hacer unas 300 iteraciones. Si el módulo del número complejo es inferior o igual a 2 se puede considerar que orbita alrededor de un punto que no tiende al infinito. Por órbita se entiende la serie de valores que toma la iteración de la función para un valor inicial. El conjunto de números que no tienden al infinito (su órbita no tienden al infinito) se denomina Conjunto de Julia.

4.- Si el módulo del número complejo obtenido después de iterar no supera 2 se representa en el plano complejo con un punto negro sino no se representa.

5.- Pasamos a otro punto de nuestro plano complejo, por ejemplo (9+10i) y continuamos con el proceso ad infinitum.

Si se itera una región grande del plano complejo y representamos sobre un plano complejo el conjunto de Julia obtenemos el siguiente dibujo (figura 4):

 

 

Esta es la representación del fractal de Julia cuando la fórmula es

 

De forma genérica se puede escribir la fórmula como donde Z y C son números complejos.

 

Cabe destacar que el fractal de Julia comprende todo el plano complejo pero se trabaja con regiones delimitadas para agilizar la representación. El plano complejo formado por los vértices superiores (-2+2i), (2+2i) y los vértices (-2-2i), (2-2i) es suficiente para observar el conjunto.

La figura 4 ha sido representada mediante el programa que acompaña al trabajo Julia.exe. Pero esta imagen no es tan atractiva como las que se suelen encontrar cuando se busca información sobre los fractales.

Para conseguir colorido y efectos muy agradables se procede de la siguiente manera: una vez estudiada la órbita en un punto cualquiera se comprueba el número de iteraciones. Recuerde el lector que una vez la fórmula iterada superaba el valor (en módulo) de 2 se cesaban las iteraciones y ese punto no era representado, en lugar de ello representamos ese punto con un color determinado. Por ejemplo si el punto tiende rápidamente al infinito se representa con el color azul, si el punto iterado tarda 120 iteraciones en sobrepasar el valor 2 se le asigna otro color etc. Una muestra de ello en la figura 5.

 

Figura 5.

A medida que varía el valor del parámetro C se obtienen diferentes fractales del tipo Julia. Estas imágenes han sido capturadas del programa que acompaña al trabajo Julia.exe y se les ha aplicado un efecto de inversión del color.

 

c=(-0.25+i)	c=(-1.38)
c=-2	c=(-0.5-55i)
c=0.75i	c=0

El fractal de Julia puede mostrar una belleza asombrosa.
Su dimensión no llega a dos debido a que hay muchas zonas del plano complejo que no pertenecen al conjunto de Julia. Es autosimilar en algunas partes determinadas y con algunos parámetros concretos, es infinito ya que podría ampliar el fractal tanto como quisiera.

3.4- El conjunto de Mandelbrot

He aquí el fractal más nombrado, más representado y posiblemente más estudiado de todos los existentes. La relación con el fractal de Julia es muy estrecha como se demostrará en este apartado. ¿Imaginó el matemático francés Benoît Mandelbrot las repercusiones de la publicación de su libro: The Fractal Geometry of Nature?

Mandelbrot partió de la función compleja

 

Sí, no ha leído mal, la misma función que representa el conjunto de Julia. Pero a diferencia del método de Julia, Mandelbrot no iteró el plano complejo de la forma que lo iteró Julia. Mandelbrot decidió fijar c=0 e iterar los puntos del plano complejo mediante el parámetro c que no es más que un número complejo.

El fractal de Mandelbrot es infinito y prácticamente autosimilar.

Método de dibujo

1.- Se decide iterar una región del plano complejo. En este caso elegimos el rectángulo que forman los vértices superiores (-2+2i), (2+2i) y los vértices inferiores (-2-2i), (2-2i). Vea la figura 6.

Figura 6.

2.- Ahora se procede a iterar un punto de ese plano elegido partiendo siempre de .
Por ejemplo iteramos el punto :

 

 

La tabla 1 muestra el resultado de las 12 primeras iteraciones

	Valor de la iteración	Módulo

 

3.- En general con 100 iteraciones es suficiente. En el momento en que el módulo de es mayor a 2 se descarta el punto (no se representa) ya que está demostrado que tenderá al infinito. En caso de iterarse 100 veces y que se cumpla la condición se pinta en el punto en cuestión ya que por cuestiones de matemática probabilística el punto tenderá a infinito.

4.- Se iteran todos los puntos del plano delimitado anteriormente. Finalmente obtenemos el conjunto de Mandelbrot formado por todos aquellos puntos que han sido iterados y han cumplido la condición .

Observe detalladamente las enormes irregularidades de su contorno. Pero esta representación no es tan atractiva como las que se pueden llegar a generar.

Para generar una imagen con colores atractivos se procede con el mismo mecanismo que en el caso del fractal de Julia.

Generalmente se hace una paleta de colores que corresponde con el número de iteraciones que ha sufrido un punto hasta alcanzar el valor de su orbita. En el caso del punto anterior (0,37+0,4i) en la iteración 11 ya escapaba al infinito (superaba en módulo el valor 2) así pues se representaría este punto con el color correspondiente a la iteración 11.

La dimensión del fractal de Mandelbrot se ha estimado en algo inferior 2. Es autosimilar en algunos puntos es infinito y complejo en cualquier punto.

Otro aspecto destacable del conjunto de Mandelbrot es cada punto de ese conjunto puede asociarse al conjunto de Julia.

Figura 9. Una ampliación del conjunto de Mandelbrot correspondiente a la zona coloreada de rojo.

 

Figura 10. Ampliación.

Figura 11. Otra ampliación con otra paleta de colores.

 

3.5- El fractal de Newton

Este fractal se crea usando el método de Newton-Raphson y su forma de generarlo es similar al de Julia. Parte de la fórmula

 

donde z es un número complejo. El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de las funciones polinómicas tipo

 

Su definición matemática es

 

este método consigue encontrar las raíces de f(x) de manera aproximada.

Método de dibujo para el fractal de Newton:

1.- Partimos de una nueva región del plano completo comprendida entre los puntos
(-2,2i), (2,2i), (-2,-2i) y (2,-2i). Elegimos esta región para ganar velocidad en la representación del fractal.

2.- Se selecciona un número complejo para iterar. Para este caso suponga el número complejo (1+0i), aunque también podría ser elegido el extremo (-2+2i) y barrer verticalmente todo el plano. Ahora teniendo en cuenta el método Newton-Raphson para hallar raíces, nuestro número complejo se convierte en la x inicial .
Este proceso iterativo se repite unas 1000 veces para conseguir unos resultados bastantes precisos:

 

 

 

3.- Una vez terminado el proceso iterativo la representación del punto iterado se hace en base de los tres atractores, es decir, de las tres soluciones a la ecuación . El punto se pinta de un color determinado teniendo en cuenta hacia cual atractor tiende.

4.- El proceso continuaría para otro punto de la región del plano complejo.

Cuando se itera la región anterior y se representa con los colores azul, rojo y verde se obtiene la figura 13.

Nótese la gran autosimilitud de la que goza este fractal ya que en cada ampliación del centro se obtiene el mismo fractal.

Cuando se trató el tema de los atractores se mencionó que estos pueden tener una belleza asombrosa. Pues este es el ejemplo más claro ya que las zonas homogéneas representan los puntos que han sido atraídos por estos atractores que son las soluciones a la ecuación

siendo z un número complejo son las siguientes:

Cuando un punto iterado no tiende a ninguno de esos tres atractores se produce el caos, como queda gráficamente demostrado en las zonas donde aparecen los “brazos” del fractal.

3.6- Fractal de Cantor

Otro fractal sencillo de dibujar. Su creador fue Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918).

Método de dibujo:

1.- Se toma un segmento de cualquier longitud.
2.- Se divide en tres partes iguales y se elimina el segmento central.
3.- Se procede de igual manera para los segmentos restantes y así se continúa infinitamente.

Se considera un fractal ya que su dimensión está en el intervalo (0,1), es infinito y es otro claro ejemplo, junto al fractal de Sierpinski, de autosimilitud.

3.7- La curva de Koch

Este fractal fue descubierto en 1904 por el matemático Niels Helge von Koch (1870-1924). Es un fractal sencillo de dibujar.

Método de dibujo:

	1. Se traza un segmento de cualquier longitud.
	2. Se divide el segmento en tres porciones proporcionales y la parte central se sustituye por dos segmentos del mismo tamaño que el eliminado y formando un ángulo de 60º. 3. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cada segmento formado.

 

La isla de Koch es una variante de este fractal que consiste en iniciar el proceso con un triángulo isósceles y tratar cada cateto con el procedimiento anterior.

 

Iteración 0	Iteración 2	Isla de Koch tras 15 iteraciones

Es un fractal, tanto la curva de Koch como su variante, ya que cumplen las siguientes condiciones:
• Dimensión no entera
Se ha estimado la dimensión de la curva de Koch en aproximadamente 1.26
• Autosimilitud
Es un fractal muy autosimilar
• Compleja estructura
A medida que se itera este fractal su estructura se vuelve más abrupta y compleja.

Nótese que la isla de Koch tiene perímetro o longitud infinita y área finita.

3.8- El fractal de Zayas

El fractal de Zayas es el título que le he querido dar a una modificación del fractal de Julia. Ahora la fórmula toma un parámetro más.

Para que el fractal sea agradable a la vista w debe de comprender el intervalo [-1,1]. El parámetro w es un número complejo.

Se ha elaborado un pequeño programa que acompaña al trabajo para que el lector pueda experimentar con este fractal introduciendo los parámetros c y w para más tarde representar el fractal.

Las iteraciones se realizan del mismo modo que en el fractal de Julia. Por ejemplo para w=(1-i), c)=0 y el punto del plano complejo Z=0

	Valor de la iteración
…

Tras iterar todo el plano complejo se obtienen imágenes verdaderamente sorprendentes.
Esta es una pequeña muestra de cuatro fractales muy atractivos.

La calavera. c=1 y w=-1	El escorpión. c=i y w=1
Galaxia. c=i y w=-i	La Vera Cruz. c=-1 y w=1

Puede catalogarse como conjunto fractal ya que es infinito, muestra una compleja estructura y no tiene dimensión entera. Su dimensión la he estimado en inferior 2 ya que no cubre todo el plano complejo.