La prueba más universal para la comparación de dos
tratamientos
Probablemente el primer análisis estadístico que uno realiza en su vida es
la comparación de dos medias. Esta situación se plantea cuando se están
comparando dos grupos (normalmente dos tratamientos) con relación a una
variable de eficacia cuantitativa (p.ej. VEMS). La prueba de elección es la
t de Student. Su cálculo no tiene mayor dificultad, sin embargo, requiere de
ciertas asunciones que a menudo no se suelen verificar, pudiendo llegar a
conclusiones erróneas según veremos en este artículo.
Asunciones de la prueba t de
Student
Técnicamente se puede
describir la prueba t de Student como aquella que se utiliza en un modelo en
el que una variable explicativa (var. independiente) dicotómica intenta
explicar una variable respuesta (var. dependiente) dicotómica. Es decir en
la situación: dicotómica explica dicotómica.
La prueba t de Student como
todos los estadísticos de contraste se basa en el cálculo de estadísticos
descriptivos previos: el número de observaciones, la media y la desviación
típica en cada grupo. A través de estos estadísticos previos se calcula el
estadístico de contraste experimental. Con la ayuda de unas tablas se
obtiene a partir de dicho estadístico el p-valor. Si p<0,05 se concluye
que hay diferencia entre los dos tratamientos.
Las hipótesis o asunciones
para poder aplicar la t de Student son que en cada grupo la variable
estudiada siga una distribución Normal y que la dispersión en ambos grupos
sea homogénea (hipótesis de homocedasticidad=igualdad de varianzas).
Si no se verifica que se cumplen estas asunciones los resultados de la
prueba t de Student no tienen ninguna validez.
Por otra parte no es
obligatorio que los tamaños de los grupos sean iguales, ni tampoco es
necesario conocer la dispersión de los dos grupos.
¿Qué hacer cuando las
asunciones no se cumplen?
Existen varias pruebas
estadísticas para contrastar la Normalidad de los datos: la más utilizada la
de Kolmogorov-Smirnov. De igual modo existen también varias pruebas que
permiten contrastar la homogeneidad de varianzas: la más utilizada es la
prueba de Levene.
En el caso de que no se
cumpla la asunción de Normalidad se suele intentar alguna transformación de
los datos que "normalice" los datos, siendo la transformación logaritmo
neperiano la más usual. Ocurre en la práctica que la transformación que
"normaliza" los datos también consigue igualdad de varianzas. En el caso de
que no se diera la hipótesis de igualdad de varianzas ni siquiera después de
transformar los datos, hay que utilizar una modificación de la prueba t de
Student debida a Satterthwaite que es válida para el caso de no homogeneidad
de varianzas.
Ejemplo
Se supone que se quiere
comparar dos tratamientos con relación a una variable cuantitativa. Los
datos experimentales son:
Trat A: 25, 24, 25, 26
Trat B: 23, 18, 22, 28, 17,
25, 19, 16
Si se aplica la t de Student
directamente se obtiene una p=0,096>0,05 con lo que se concluye que no se
puede demostrar diferencias entre los dos tratamientos. Sin embargo la
prueba de Levene pone de manifiesto que p=0,014<0,05 con lo que se concluye
que en estos datos no se verifica la igualdad de varianzas, con lo que la
conclusión anterior queda en suspenso. Tras aplicar Satterthwaite, que es
válido en este caso de heterocedasticidad, se obtiene que p=0,032<0,05 con
lo que la conclusión correcta es que sí hay diferencia entre los dos
tratamientos.
Conclusiones
La prueba t de Student es muy
utilizada en la práctica, sin embargo a menudo su aplicación se hace sin
excesivo cuidado, no comprobando las asunciones que requiere. En este
artículo se ha puesto de manifiesto que la falta de normalidad o la falta de
homogeneidad en las varianzas invalida la prueba t de Student
Distribución t-Student de n grados de libertad
-
Función de densidad de probabilidad:
- Valores esperados
E(t)=0
- Parecida a N(0,1)
- Th.
Si es
una v.a. con distribución N(0,1) y es
otra v.a. con distribución de
n grados de libertad, entonces es
una v.a. con distribución t-Student de n grados de libertad.
- es
una t-Student de n-1 grados de libertad
-
Analogía con ,
que es N(0,1)
- Si
es
el fractil de
la distribución t-Student de n grados de libertad, entonces, por ser
simétrica respecto del origen, se tiene que:
TABLA DE LA DISTRIBUCION t-Student
La tabla da áreas 1
-
a
y valores
,
donde, 
, y donde T tiene distribución t-Student con
r grados de libertad..
|
|
1
-
a |
|
r |
0.75 |
0.80 |
0.85 |
0.90 |
0.95 |
0.975 |
0.99 |
0.995 |
|
1 |
1.000 |
1.376 |
1.963 |
3.078 |
6.314 |
12.706 |
31.821 |
63.657 |
|
2 |
0.816 |
1.061 |
1.386 |
1.886 |
2.920 |
4.303 |
6.965 |
9.925 |
|
3 |
0.765 |
0.978 |
1.250 |
1.638 |
2.353 |
3.182 |
4.541 |
5.841 |
|
4 |
0.741 |
0.941 |
1.190 |
1.533 |
2.132 |
2.776 |
3.747 |
4.604 |
|
5 |
0.727 |
0.920 |
1.156 |
1.476 |
2.015 |
2.571 |
3.365 |
4.032 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0.718 |
0.906 |
1.134 |
1.440 |
1.943 |
2.447 |
3.143 |
3.707 |
|
7 |
0.711 |
0.896 |
1.119 |
1.415 |
1.895 |
2.365 |
2.998 |
3.499 |
|
8 |
0.706 |
0.889 |
1.108 |
1.397 |
1.860 |
2.306 |
2.896 |
3.355 |
|
9 |
0.703 |
0.883 |
1.100 |
1.383 |
1.833 |
2.262 |
2.821 |
3.250 |
|
10 |
0.700 |
0.879 |
1.093 |
1.372 |
1.812 |
2.228 |
2.764 |
3.169 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0.697 |
0.876 |
1.088 |
1.363 |
1.796 |
2.201 |
2.718 |
3.106 |
|
12 |
0.695 |
0.873 |
1.083 |
1.356 |
1.782 |
2.179 |
2.681 |
3.055 |
|
13 |
0.694 |
0.870 |
1.079 |
1.350 |
1.771 |
2.160 |
2.650 |
3.012 |
|
14 |
0.692 |
0.868 |
1.076 |
1.345 |
1.761 |
2.145 |
2.624 |
2.977 |
|
15 |
0.691 |
0.866 |
1.074 |
1.341 |
1.753 |
2.131 |
2.602 |
2.947 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
0.690 |
0.865 |
1.071 |
1.337 |
1.746 |
2.120 |
2.583 |
2.921 |
|
17 |
0.689 |
0.863 |
1.069 |
1.333 |
1.740 |
2.110 |
2.567 |
2.898 |
|
18 |
0.688 |
0.862 |
1.067 |
1.330 |
1.734 |
2.101 |
2.552 |
2.878 |
|
19 |
0.688 |
0.861 |
1.066 |
1.328 |
1.729 |
2.093 |
2.539 |
2.861 |
|
20 |
0.687 |
0.860 |
1.064 |
1.325 |
1.725 |
2.086 |
2.528 |
2.845 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
0.686 |
0.859 |
1.063 |
1.323 |
1.721 |
2.080 |
2.518 |
2.831 |
|
22 |
0.686 |
0.858 |
1.061 |
1.321 |
1.717 |
2.074 |
2.508 |
2.819 |
|
23 |
0.685 |
0.858 |
1.060 |
1.319 |
1.714 |
2.069 |
2.500 |
2.807 |
|
24 |
0.685 |
0.857 |
1.059 |
1.318 |
1.711 |
2.064 |
2.492 |
2.797 |
|
25 |
0.684 |
0.856 |
1.058 |
1.316 |
1.708 |
2.060 |
2.485 |
2.787 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
0.684 |
0.856 |
1.058 |
1.315 |
1.706 |
2.056 |
2.479 |
2.779 |
|
27 |
0.684 |
0.855 |
1.057 |
1.314 |
1.703 |
2.052 |
2.473 |
2.771 |
|
28 |
0.683 |
0.855 |
1.056 |
1.313 |
1.701 |
2.048 |
2.467 |
2.763 |
|
29 |
0.683 |
0.854 |
1.055 |
1.311 |
1.699 |
2.045 |
2.462 |
2.756 |
|
30 |
0.683 |
0.854 |
1.055 |
1.310 |
1.697 |
2.042 |
2.457 |
2.750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
0.681 |
0.851 |
1.050 |
1.303 |
1.684 |
2.021 |
2.423 |
2.704 |
|
60 |
0.679 |
0.848 |
1.046 |
1.296 |
1.671 |
2.000 |
2.390 |
2.660 |
|
120 |
0.677 |
0.845 |
1.041 |
1.289 |
1.658 |
1.980 |
2.358 |
2.617 |
|
¥
|
0.674 |
0.842 |
1.036 |
1.282 |
1.645 |
1.960 |
2.326 |
2.576 |
