Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una constante positiva y menor que la distancia entre los focos. Sus elementos son los que se muestran en la figura:

·                                 F y F’, focos.

·                                 V y V’, vértices.

·                                 L, eje focal.

·                                 VV’, eje transverso.

·                                 C, centro.

·                                 L’, eje normal.

·                                 AA’, eje conjugado.

·                                 CF, lado recto.

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

A diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c > a) y se puede

considerar . Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.

hipérbola.

Al igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.

En un punto P(x, y) de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F'(-c, 0) los radios vectores son:

Demostración:

Los radios vectores son:

Eliminando los términos comunes:

2cx = 4a² - 2cx + 4a·

Despejando:

4a ·  = 2cx - 4a² + 2cx = 4cx - 4a², luego

' =+ 2a = ex - a + 2a = ex + a

Nótese que se ha utilizado que la distancia ' es mayor que , lo cual sólo es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera sido similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó valor absoluto en los segundos miembros.

La ecuación de una hipérbola con focos en los puntos F(c, 0) y F''(-c, 0) es

Demostración:

Se toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella:

Sacando factor común (c² - a²),

                                (c² - a²) x² + a² (a² - c²) - a²y² = 0

Pero c² - a² = b², luego

               b²x² - a²b² - a²y² = 0. Dividiendo entre a² · b², se obtiene:

En el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:

Los vértices de una hipérbola son los puntos donde ésta corta a sus ejes.

ejes de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0.

· Eje real

Su ecuación es y = 0.

Sustituyendo en la hipérbola:

Los vértices son (a, 0) y (-a, 0)

· Eje imaginario

La ecuación del eje es x = 0.

Al sustituir queda:

Esta ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre negativo y el segundo es positivo.

puntos (a, 0) y (-a, 0).

Si en la ecuación de la hipérbola se despeja y, resulta:

Pero, para valores grandes de x ,  » x , siempre que a sea un número fijo. En efecto:

Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente, mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan pequeña como se quiera al crecer x.

Estas rectas se llaman asíntotas de la hipérbola.

Por tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y.

Si se tiene una hipérbola con centro en un punto (x₀, y₀), procediendo como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es

vertical será

Los focos serán, si el eje real es horizontal (x₀ ± c, y₀) y (x₀, y₀ ± c ) si es vertical.

De la misma forma los vértices son

                                (x₀ ± a, y₀) ó (x₀, y₀ ± a )

según que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente.

Para hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se extrae la raíz cuadrada.

Sea una ecuación de la forma Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 en la que A y B tengan distinto signo. Operando por un procedimiento similar al visto en el caso de la elipse, siempre se puede llegar a uno de los tipos de ecuación de una hipérbola.

Ejercicio: ecuaciones de la hipérbola

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� Hallar la ecuación reducida de la hipérbola 4x² - 9y² - 8x + 36y + 4 = 0.

Hallar su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.

Resolución:

· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:

(4x² - 8x) - (9y² - 36y) + 4 = 0

4(x² - 2x) - 9(y² - 4y) + 4 = 0

· Se completan cuadrados en los paréntesis:

x² - 2x = x² - 2 · 1x + 1² - 1² = (x - 1)² - 1

y² - 4y = y² - 2 · 2y + 2² - 2² = (y - 2)² - 4

· Se sustituye en la ecuación:

4(x - 1)² - 4 - 9(y - 2)² + 36 + 4 = 0

4(x - 1)² - 9(y - 2)² = 4 - 36 - 4 = -36

· Se divide entre -36:

· Se trata, pues, de una hipérbola con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y sus semiejes son a =  = 2 y b =  = 3

· Los vértices son (1, 2 ± 2), es decir (1, 0) y (1, 4).

· Asíntotas:

‚ Hallar los elementos de la hipérbola x² - y² + 2x + 4y - 12 = 0

Resolución:

· (x² + 2x) - (y² - 4y) - 12 = 0

x² + 2x = x² + 2 · 1x + 1² - 1² = (x+1)² - 1

y²-4y = y² - 2 · 2y + 2² - 2² = (y -2)² - 4

(x + 1)² - 1 - (y - 2)² + 4 - 12 = 0

(x + 1)² - (y - 2) = 1 - 4 + 12 = 9

· Se trata de una hipérbola con centro en (-1, 2), eje real horizontal, y semiejes

a = 3,  b = 3  (este tipo de hipérbolas que tienen iguales sus semiejes se llaman hipérbolas equiláteras).

· Los vértices son los puntos (-4, 2) y (2, 2).

· Para hallar las asíntotas se iguala a cero el primer miembro de la ecuación reducida:

                                Þ (x + 1)² = (y - 2)² Þ x + 1 = ±(y - 2)

x + 1 = y - 2 Þ y = x + 3

x + 1 = -y + 2 Þ y = 1- x