Ejes coordenados

Ejes coordenados

Conceptos preliminares

INTRODUCCIÓN Desde la antigüedad, el álgebra y la geometría, ramas de la matemática, se desarrollaron en forma independiente. En 1637 el matemático y filósofo René Descartes publicó su obra La Geometría, en la cual unificaba ambas ramas por medio de un sistema coordenado con el que se establecía una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y parejas de números reales. Lo anterior introdujo la aplicación de los métodos del análisis en la geometría, es por ello que surgió la geometría analítica, también llamada geometría de coordenadas o geometría cartesiana, que permite el empleo de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos, así como la representación geométrica de ecuaciones, relaciones y funciones. La aplicación de la geometría analítica en la resolución de problemas geométricos implica la utilización de un sistema coordenado al que se traslada la condición o condiciones geométricas que deben satisfacerse.

SEGMENTO DIRIGIDO Una recta dirigida es aquella en la que una dirección se define como positiva y a su dirección opuesta como negativa. La porción de recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento. A diferencia de la geometría plana, en geometría analítica se considera la dirección de los segmentos de recta además de su longitud. En la figura 1. 1 se ilustra la recta 1, en la cual AB es un segmento cuyos extremos son A y B. Si se considera al segmento AB generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta 1 de A a B, entonces se dice que el segmento AB está dirigido de A a B como lo indica la flecha. El punto A recibe e nombre de origen o punto inicial y al punto B se le llama extremo o punto final. Si el mismo segmento se dirige de B a A, B es el origen y A el extremo y se denota por BA. Como se puede observar, la dirección o sentido de un segmento dirigido siempre se indica escribiendo primero el origen o punto inicial.

Al valor que indica la longitud de un segmento dirigido se le asocia el signo que corresponde a su dirección o sentido. De esta manera, si a un segmento dirigido en un sentido se le considera de longitud positiva, entonces el dirigido en sentido opuesto será de longitud negativa, es decir, si AB tiene Ion 1gitud positiva entonces la de BA es negativa.

AB = -BA.

Si A, B y C son tres puntos distintos sobre una recta dirigida positivamente de izquierda a derecha, entonces los segmentos dirigidos determinados por dichos puntos satisfacen las siguientes relaciones:

AB +BC =AC, AC + CB =AB, BA +AC =BC

Fig. 1.2

Si como se ilustra en la figura 1.2, B está entre A y C, los segmentos AB, BC y AC tienen la misma dirección y AC es igual a la suma de los otros dos segmentos. La segunda relación se puede obtener a partir de la primera, al trasponer BC y utilizar la igualdad BC = CB.

AB=AC-BC=AC+CB

Una tercera relación se puede obtener a partir de la primera, mediante trasponer AB y utilizar la igualdad AB = - BA.

BC=AC-AB=AC+BA=BA+AC

Las relaciones anteriores ilustran los casos en que B está entre A y C; C está entre A y B; A está entre B y C. Intercambiando los extremos pueden obtenerse las tres relaciones restantes que se demuestran de manera semejante a las ya planteadas.

Recordemos que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, de manera que a cada punto de la recta se le asocia un número real único y viceversa. En dicha recta se elige un punto que se denota con la letra 0, se le asocia el valor cero y se le llama origen; los puntos a la derecha de¡ origen están asociados a números positivos y los situados a la izquierda, a números negativos.

A cada punto de la recta le corresponde un número real denominado coordenada del punto. Para obtener la magnitud y signo de un segmento dirigido se encuentra la diferencia entre las coordenadas de sus extremos, restando a la coordenada del punto final la del punto inicial. El signo indica la dirección, y el valor absoluto de la magnitud, con su signo, nos da la distancia entre los puntos que determinan el segmento dirigido.

Ejemplo: Encontrar la distancia (d) entre los puntos P₁ ( 7) y P₂ (-4)

P₁, P₂= 7-(-4)= 11 P₂ P₁ = -4 -7 = -11

d = / P₁ P₂/ = / P₂ P₁/ d = /-11/ = /11/ = 11

1.1.1. Coordenadas de un punto

COORDENADAS RECTANGULARES

A continuación se describe el sistema rectangular conocido por el estudiante en sus cursos de álgebra y trigonometría.

Se traza una recta como la de la figura 1.3 y se elige un punto cualquiera de la misma al cual se le asocia el número cero y se le llama origen 0. Se conviene en que los puntos a la derecha del origen estén asociados a números positivos y los ubicados a la izquierda, a números negativos.

Fig. 1.3

En la figura 1.4 se ilustra lo que se conoce como recta real.

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Fig. 1.4

E j e s (Abscisa y ordenada).

Si la recta real se hace girar 90' alrededor del origen y en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj se obtienen dos rectas perpendiculares entre sí (figura 1.5)

Fig. 1.5

Como se puede observar, en la recta vertical los puntos que corresponden a los números positivos ahora quedan del origen hacia arriba y los negativos, del origen hacia abajo.

Estas rectas, perpendiculares entre sí, reciben el nombre de ejes. El eje horizontal se denota como xx' y se denomina eje x o eje de las ABSCISAS; el eje vertical se denota por yy' y se le llama eje y o eje de las ORDENADAS; el punto de intersección 0 de ambos ejes es el origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se numeran en el orden indicado en la figura 1.6.

Fig. 1.6

1.1.2. Representación de figuras planas.

Localización de un punto del plano: Si se elige una unidad de medida conveniente y se utiliza la misma en los dos ejes, podemos representar un punto en el plano. Localicemos los puntos A (3, 4); B (-2, 5); C (-3, -2); D (5, -3)

Notamos que el punto A tiene positivas su abscisa y su ordenada; para representarlo en el plano haremos lo siguiente:

a) Localizamos el número 3 en el rayo positivo del eje xx. b) Localizamos el número 4 en el rayo positivo del eje yy'

e) Trazamos perpendiculares a los ejes en los puntos localizados 3 y 4.

d) La intersección de las perpendiculares anteriores determina el punto A de coordenadas (3,4)

Otra forma de determinar el punto A consiste en:

a) Localizamos el número 3 en el rayo positivo del eje xx.

b) Trazar la perpendicular a xx' por el punto 3 y tomar sobre ésta cuatro unidades a partir del eje xx. Al considerar que trabajamos con rectas perpendiculares, podemos decir que el punto A con respecto al origen está tres unidades hacia la derecha y a partir de éste cuatro unidades hacia arriba. En igual forma podemos decir que B está dos unidades a la izquierda y cinco hacia arriba; C, tres unidades a la izquierda y dos hacia abajo; D, cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo.

La localización de puntos en el plano se facilita utilizando papel coordenado rectangular como el ilustrado en la figura 1.8. Para una mejor aproximación puede usarse papel milimétrico que permite estimar la posición de un punto que no está sobre las esquinas de un cuadrado, sino dentro de él o sobre alguno de sus lados; esto ocurre cuando una coordenada es un número irracional y se ha de hacer necesariamente una aproximación decimal para ubicar el punto.

En este sistema se establece una relación uno a uno entre cualquier par ordenado de números reales y el punto definido del plano coordenado al cual corresponde, e inversamente a cada punto del plano le corresponde un par definido de coordenadas.

Fig. 1.8

Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje Y hacia arriba del origen son positivas y hacia abajo del origen son negativas.

Ejercicio 1

1. Localiza en el plano coordenado los siguientes pares ordenados:

A (4, 3) B (3, 4) C (0, 5) D (-5, 2) E (-4, 5) F (-6, 0)

G (-2, -5) H (-4, -3) I (-3, -2) i (5, -6) K (5, 0) L (1, 2)

M(-2, 3) N (-4,1) P (-3, -2) Q (0, -4) R(1, -5) S (2, -1)

T (5, -2) U (4, -4)

2. Determinar las coordenadas de los puntos que se indican en la figura:

ºG

º F

3. Si un punto está sobre el eje x, ¿cuál es su ordenada? 4. Si un punto está sobre el eje y, ¿cuál es su abscisa?

5. Con base en un cuadrado que tiene 10 unidades de longitud por lado determinar las coordenadas de sus vértices si :

a) Un vértice está en el origen y dos de sus lados se encuentran sobre los ejes coordenados y además el cuarto vértice está en el tercer cuadrante.

b) Su centro está en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados.

6. Encontrar todos los puntos en donde:

a) La abscisa es 5.

b) La ordenada es -3.

c) La abscisa y la ordenada son iguales.

d) La abscisa y la ordenada tienen signos contrarios e igual valor absoluto.

7. Si en una circunferencia, que tiene su centro en un punto P, se traza un diámetro de extremos A y B, entonces P es el punto medio entre A y B. Cuando esto ocurre se dice que los puntos A y B son simétricos con respecto al punto P, ya que los puntos P, A y B están sobre una misma recta y las distancias de P a A y de P a B son iguales.

Con base en la siguiente figura determinar todos los pares de puntos que son simétricos con respecto a un punto.

8. Dos puntos son simétricos con respecto a una recta r cuando pertenecen a una perpendicular a ella y están a igual distancia de r. En la figura anterior son perpendiculares las rectas r, y r₂, r₃ y r₄. Si se dobla la hoja de manera que el doblez contenga la recta r₁, entonces los puntos P y R van a coincidir y por tanto son simétricos con respecto a la recta r₁.

Considerando la figura anterior determine todos los pares de puntos que son simétricos con respecto a las rectas r₁, r₂, r₃ y r₄