Potencias de las funciones trigonométricas
<body topmargin=0 leftmargin=0 marginheight=0 marginwidth=0> <table cellpadding=0 cellspacing=0 border=0><tr> <td valign="top" colspan=3 height=77 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <div> <FONT SIZE="5" COLOR="#FFFFFF" FACE="Arial" ><B>C á l c u l o i n t e g r a l</B></FONT><B> | </B><A HREF="index.htm" TARGET="_top" TITLE="C á l c u l o i n t e g r a l"><U><B>Home</B></U></A><B> | </B><B> </B><A HREF="id17.htm" TARGET="_top" TITLE="Contenido"><U><B>Contenido</B></U></A><B> | </B><A HREF="id28.htm" TARGET="_top" TITLE="Técnicas de integración"><U><B>Técnicas de integración </B></U></A><B> |</B></div> <div> <A HREF="id29.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración directa"><U>Integración directa</U></A> | <A HREF="id30.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración por sustitución"><U>Integración por sustitución</U></A> | <A HREF="id31.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración por partes"><U>Integración por partes</U></A> | <B>Potencias de las funciones trigonométricas</B> | <A HREF="id33.htm" TARGET="_top" TITLE="Sustitución trigonométrica"><U>Sustitución trigonométrica</U></A> | <A HREF="id34.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración de funciones racionales, por"><U>Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador sólo tiene factores lineales</U></A> | <A HREF="id35.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración de funciones racionales, por"><U>Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadráticos</U></A> | <A HREF="id36.htm" TARGET="_top" TITLE="Integrales en las que aparecen expresion"><U>Integrales en las que aparecen expresiones cuadráticas</U></A> | <A HREF="id37.htm" TARGET="_top" TITLE="Integrales que producen funciones trigon"><U>Integrales que producen funciones trigonométricas inversas</U></A> | <A HREF="id54.htm" TARGET="_top" TITLE="Misceláneas"><U>Misceláneas</U></A></div> <div> </div> </td> </tr><tr> <td valign="top" rowspan="2" width=84 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <bR> <bR> <bR> <div> <A HREF="id32_m.htm#arriba" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><B><!-- Start Gem Animated Image (GIF) --> <img src="HTMLobj-532/aniGif.gif" alt="Arriba" border="0" align="bottom" width="50" height="50"> <!-- End Gem Animated Image (GIF) --> </B></U></A></div> <div> <A HREF="id32_m.htm#identidades_trigonom_tricas_2" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><B>Identidades</B></U></A></div> </td> <td valign="top" height=382 BGCOLOR="#FFFFFF" TEXT="#080000"> <bR> <div> <B>Potencias de las funciones trigonométricas</B></div> <div> <B> <A NAME="arriba"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></B><B>E</B><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >n este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonométricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:</FONT></div> <div> <IMG SRC="1ee7d180.gif" border=0 width="637" height="24" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonométricas:</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="2" CELLPADDING="2" CELLSPACING="1" WIDTH="617" BORDERCOLORLIGHT="#FFCC33" BORDERCOLORDARK="#996600" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=4 BGCOLOR=#FFCC66 HEIGHT= 20 WIDTH="593"><div> <A NAME="identidades_trigonom_tricas_2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#006600" FACE="Times New Roman" ><B>Identidades trigonométricas</B></FONT></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 46 ><NOBR><div> <IMG SRC="1ef75150.gif" border=0 width="117" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f075150.gif" border=0 width="117" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f179270.gif" border=0 width="121" height="39" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f27c270.gif" border=0 width="124" height="39" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 28 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f377150.gif" border=0 width="119" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <IMG SRC="1f477150.gif" border=0 width="119" height="21" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 WIDTH="295"><div> <IMG SRC="1f585130.gif" border=0 width="133" height="19" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2 HEIGHT= 46 ><NOBR><div> <IMG SRC="1f623270.gif" border=0 width="291" height="39" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=2><NOBR><div> <IMG SRC="1f72b270.gif" border=0 width="299" height="39" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> </NOBR></tD> </tR> </TABLE></div> <div> Por lo regular, una vez concluimos con las transformaciones trigonométricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la <A HREF="id30.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración por sustitución"><U><I>integración por sustitución</I></U></A>. En otros casos debemos recurrir a la <A HREF="id31.htm" TARGET="_top" TITLE="Integración por partes"><U><I>integración por partes</I></U></A>.</div> <DIV ALIGN="LEFT"></DIV> <div> <TABLE BORDER="1" CELLPADDING="1" CELLSPACING="1" WIDTH="633" BORDERCOLORLIGHT="#33FFCC" BORDERCOLORDARK="#009900" FRAME="BOX" RULES="ALL" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0" > <tR> <tD VALIGN=TOP COLSPAN=3 BGCOLOR=#00CCCC HEIGHT= 57 WIDTH="621"><div> <A NAME="ejercicios_resueltos_2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>Ejercicios resueltos</B></FONT></div> <bR> <div> <B> </B><FONT SIZE="3" COLOR="#CCFF00" FACE="Times New Roman" ><B>E</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >n los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:</FONT></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 36 WIDTH="205"><div> <A HREF="#1___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1f8531d0.gif" border=0 width="83" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#2___2_1" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1f9831d0.gif" border=0 width="131" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#3___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1fa7c1d0.gif" border=0 width="124" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 36 WIDTH="205"><div> <A HREF="#4___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1fb531d0.gif" border=0 width="83" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP><NOBR><div> <A HREF="#5___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1fc8b1d0.gif" border=0 width="139" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </NOBR></tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#6___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1fd7d1d0.gif" border=0 width="125" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 36 WIDTH="205"><div> <A HREF="#7___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1fe7d1d0.gif" border=0 width="125" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#8___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="1ff541d0.gif" border=0 width="84" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#9___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="200541d0.gif" border=0 width="84" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 36 WIDTH="205"><div> <A HREF="#10__2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="2015c1d0.gif" border=0 width="92" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#11__2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="202831d0.gif" border=0 width="131" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#12___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="203831d0.gif" border=0 width="131" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> <tR> <tD VALIGN=TOP HEIGHT= 42 WIDTH="205"><div> <A HREF="#13___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="2045b1d0.gif" border=0 width="91" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#14___2" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="205831d0.gif" border=0 width="131" height="29" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> <tD VALIGN=TOP WIDTH="205"><div> <A HREF="#15" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><IMG SRC="52e85230.gif" border=0 width="133" height="35" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></U></A></div> </tD> </tR> </TABLE></div> <bR> <div> <B>S o l u c i o n e s </B></div> <bR> <div> <A NAME="1___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>1. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="20623d70.gif" border=0 width="547" height="215" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="2___2_1"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>2.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="207afbd0.gif" border=0 width="431" height="189" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="3___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>3.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="208533b0.gif" border=0 width="595" height="315" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="4___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>4.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="2091bab0.gif" border=0 width="539" height="171" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="5___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>5. </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="20a497f0.gif" border=0 width="585" height="127" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="6___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>6.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="20b60000.gif" border=0 width="608" height="256" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" > <A NAME="7___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A></FONT><B>7</B>.<FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" > </FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#000000" FACE="Times New Roman" >Solución:</FONT></div> <div> <IMG SRC="20c67000.gif" border=0 width="615" height="256" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="8___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>8.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="20d48170.gif" border=0 width="584" height="279" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="9___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>9.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="20e44450.gif" border=0 width="580" height="69" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="10__2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>10.</B></FONT> Solución:</div> <div> <IMG SRC="20f23080.gif" border=0 width="547" height="264" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="11__2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>11.</B></FONT> Solución:</div> <div> <IMG SRC="210f3690.gif" border=0 width="499" height="105" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="12___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>12.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000CC" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="2113dc50.gif" border=0 width="573" height="197" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="13___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>13.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000CC" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="21208f00.gif" border=0 width="520" height="240" ALT="MathType 5.0 Equation" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="14___2"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><FONT SIZE="3" COLOR="#CC0033" FACE="Times New Roman" ><B>14.</B></FONT><FONT SIZE="3" COLOR="#0000FF" FACE="Times New Roman" ><B> </B></FONT>Solución:</div> <div> <IMG SRC="4ab6b430.gif" border=0 width="619" height="323" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <div> <A NAME="15"><IMG BORDER="0" SRC="1x1.gif" HEIGHT="1" ALIGN="bottom" WIDTH="1" HSPACE="0" VSPACE="0" ></A><IMG SRC="52d48e50.gif" border=0 width="584" height="741" ALT="Documento Microsoft Office Word" ALIGN="BOTTOM" HSPACE="0" VSPACE="0"></div> <bR> <bR> <bR> </td> <td valign="top" rowspan="2" width=14 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <bR> </td> </tr><tr> <td valign="top" height=21 BGCOLOR="#009999" TEXT="#080000"> <div> <B>| </B><A HREF="id32_m.htm#ejercicios_resueltos_2" TARGET="TRLX_Middle" TITLE="Potencias de las funciones trigonométric"><U><B>Ejercicios resueltos </B></U></A><B>|</B></div> </td> </tr></table></body>