Investigando qué polígonos regulares pueden teselar el plano

La finalidad de esta práctica es descubrir con qué polígonos regulares puede recubrirse el plano y por qué.

Triángulos equiláteros

 m Abrimos el programa Cabri y, antes de comenzar a trabajar, vamos a:

1 Asignar un nombre a cada uno de los grupos de "Herramientas" ( para poder identificarlas posteriormente) que vienen representadas por su icono correspondiente :

 2 Activar la Ayuda para que nos aparezcan en la parte inferior las funciones de cada herramienta e ir aprendiendo para qué se utilizan : desplegamos el menú < Ayuda >  y pulsamos sobre la opción del mismo nombre o pulsamos la tecla [F1] y, en la parte inferior de la pantalla, aparecerá un breve comentario sobre la función de cada herramienta.

mSeleccionamos, dentro del icono ×RectasØ la herramienta ×Polígono regular Ø :

mCon el icono seleccionado hacemos clic con el botón izquierdo del ratón sobre una zona de la pantalla para fijar el centro del polígono y después a una distancia dada ( radio del polígono ) fijamos uno de los vértices (pulsando de nuevo el botón izquierdo del ratón), aparecerá un dibujo parpadeante y discontinuo de un polígono con un lado dibujado, con el número de lados indicado entre llaves :

si movemos el cursor ( representado por un lápiz ) en sentido horario obtenemos la serie de polígonos convexos y si nos movemos en sentido antihorario lo polígonos estrellados, movemos el cursor hasta obtener un triángulo y hacemos clic de nuevo para fijar el triángulo equilátero.

 Ahora hemos de comprobar si tesela el plano utilizando simetrías axiales ( o mediante giros de 60º en torno a los vértices) :

m Vamos a usar la herramienta ×Simetría axial Ø, que es la primera del bloque ×Transformar Ø para dibujar el simétrico al triángulo respecto de uno de sus lados. Activamos la herramienta de simetría y pulsamos con el ratón sobre el lado izquierdo ( el programa nos preguntará ¿ simétrico de este polígono…?) y después sobre el lado derecho ( …con respecto a este lado del polígono ) y dibuja el triángulo simétrico :

mRepitiendo los pasos anteriores para el triángulo de la derecha obtenemos su simétrico: 

mContinuamos dibujando tres triángulos más con el mismo procedimiento y comprobamos que recubren el plano formando un hexágono regular :

    Si, en el dibujo que has realizado en Cabri, pulsas sobre uno de los vértices del triángulo original ( sombreado en el dibujo) puedes girar y cambiar el tamaño de la figura y seleccionando el triángulo o el punto central original de dibujo del polígono, puedes cambiarlo de lugar.

Una vez que hemos comprobado que los triángulos equiláteros teselan el plano, en el mismo archivo vamos a dibujar el mosaico, pero ahora usando traslaciones, en vez de simetrías:

    mArrastramos la figura al extremo superior derecho y en el centro de la pantalla dibujamos otro triángulo equilátero.

    mDe este mismo grupo de herramientas seleccionamos la herramienta ×VectorØ y dibujamos los tres vectores que forman sus lados seleccionando los puntos origen y extremo de los segmentos que forman la base ( hacia la derecha) el lado derecho ( hacia arriba) y el izquierdo ( hacia abajo) .

    mEn el grupo de transformar seleccionamos la herramienta ×TraslaciónØ, y seleccionamos el triángulo y lo trasladamos según el vector de la base ( hacia la derecha), después hacia arriba y por último hacemos lo mismo pero hacia abajo :

mPara continuar dibujando el mosaico sólo tienes que continuar el procedimiento en las direcciones que desees seleccionando los triángulos adecuados y el vector según el cual lo vas a trasladar, hasta formar un mosaico similar a :

    Si has dibujado el mosaico a base de triángulos equiláteros y traslaciones, puedes comprobar que los triángulos no coloreados( vértice frente al lado horizontal hacia arriba) no pueden colorearse, porque no están "dibujados", son huecos que forma la malla, que sólo pueden rellenarse mediante simetría  o giro.

mGuarda el archivo, seleccionando la opción correspondiente del menú < Archivo >  , con el nombre { Mosatri}.

mMediante la herramienta × Comentarios Ø del grupo [Ver] escribid vuestros nombres y pedid permiso para imprimir el dibujo y entregarlo al profesor/a.

Cuadrados

    Vamos a comprobar que se puede teselar el plano usando cuadrados:

    m Abrimos un archivo nuevo ( y cerramos el anterior).
    m Dibujamos un cuadrado y, mediante la herramienta × Simetría axial Ø, ( también podemos usar giros de ¿cuántos grados?), vamos dibujando a su alrededor otros tres cuadrados hasta completar la teselación del plano. 
     m Prolonga el mosaico ( ¿cuántos vectores necesitas ahora?), escribe el nombre, guarda el archivo con el nombre {Mosacua}, pide permiso para imprimirlo y entrégalo.

    Con un poco de paciencia podemos conseguir mosaicos más reales y con imaginación más "artísticos":

Prueba con el pentágono regular, el hexágono, etc.

Para descubrir la propiedad que han de cumplir los polígonos regulares que forman mosaico, continua probando con el resto de los polígonos regulares, siguiendo el procedimiento anterior y rellena la tabla del Apéndice A ( escribe en el recuadro, cuando lo sepas, la condición que han de cumplir los polígonos regulares que teselan el plano) que has de entregar cuando termines junto con los mosaicos construidos.