Hasta aquí, a parte de una breve mención al efecto de la gravedad,
no se han usado más que argumentos geométricos para describir
el sistema de mira en un arco moderno, y su funcionamento.
En este capítulo realizaremos unas reflexiones cinemáticas
y relacionaremos los resultados obtenidos con las fórmulas
elaboradas hasta ahora.
Ya se había mencionado que la caida de la flecha depende exclusivamente de su tiempo de vuelo, al estar sometida a la aceleración de la gravedad según :
| H(D) = - ½ g t² | (I) |
donde g es la aceleración de la gravedad, que equivale a 9.81 metros/segundo², y t el tiempo transcurrido en segundos. Sin tener en cuenta el rozamiento con el aire, que frena la flecha, su caida en función de la distancia D, conociendo la velocidad V, viene dada por :
| H(D) = - ½ g (D / V)² | (II) |
El gráfico siguiente ilustra el significado de esta equación sobre una flecha que es disparada horizontalmente a una velocidad de 270 pies por segundo (82.3 m/s) :
Gráfico 1
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en 12 centésimas de segundo que tarda la flecha en viajar los primeros 10 metros, ya es desviada de su trayectoria horizontal inicial en 7.2 cm. A las 24 centésimas y habiendo viajado 20 metros, ya habrá bajado casi 30 cm. Y a los 50 metros la caida será de un metro y ochenta y un centímetros. A los 90 metros habrá caido ya casi 6 metros.
Entre los tiradores de bosque (2D y 3D) es frecuente oir hablar de la 'rasante' de un arco para referirse a un vuelo tenso y casi rectilíneo debido a la velocidad de salida que imprime a la flecha. Sin embargo un arco que fuese capaz de disparar a 350 fps (107 m/s), mostraría el siguiente comportamiento :
Gráfico 2
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con una caida de 4.3cm a los 10m, de 17.2cm a los 20m, de 107.7cm a los 50m, y de 3.5m a los 90m. Ciertamente la ganancia es muy importante, pero la caida que nos queda no es en ningún caso despreciable. No podemos hablar de ningún tipo de rasante si a los 10 metros la flecha ya nos ha caido 4.3cm. Más adelante veremos de qué viene el hablar de rasante, que en ningún caso será sinónimo de vuelo rectilíneo.
Recordando la expresión de la mira real en función de la caida de la flecha, que habíamos encontrado en el visor real :
| h'(D) = Mo + d × m / D + d × H / D | (III) |
y aplicandole (II), tendremos la expresión de la posición de mira en función de la velocidad de la flecha :
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(IV) |
donde hemos introducido Mo como el desplazamiento del zero de la escala del visor respecto a la horizontal de la vista, para poder hablar de valores de la escala real. El factor de 1000 permite expresar todas las variables de la fórmula en metros y obtener el resultado de la posición del visor en milímetros que es lo más conveniente.
La ecuación (IV) contiene un conjunto de simplificaciones que la hacen muy imprecisa (cuando buscamos la décima de milímetro), principalmente la suposición de que la flecha no se ve frenada por el rozamiento con el aire, sin embargo esta ecuación ilustra perfectamente el comportamiento de la mira. Haciendo abstracción del significado de los coeficientes, podemos reescrivirla como :
| h'(D) = a + b / D + c × D | (V) |
una ecuación con tres coeficientes. De forma que disponiendo de una posición de mira precisa para tres distancias podremos calcular a, b y c, con lo cual ya tendremos la mira a qualquier distancia. En realidad, lo mejor es determinar la mira experimentalmente cada 5 o 10 metros, y con estos valores determinar los coeficients por regresión. Fácilmente se obtienen valores de R² superiores a 0.995, y un buen afinado de las posiciones de mira experimentales, corrigiendo pequeños errores de hasta 0.5mm. Es recomendable no usar la formula ajustada experimentalmente para extrapolaciones. Es decir si se determinan los coeficientes a, b y c, a partir de posiciones de mira en el rango de distancias entre 20 y 60 metros, la posición de mira que se obtenga para 7 o 90 metros será fiable solo como aproximación.
Con estos a, b y c, y conociendo la distancia horizontal del ojo a la escala del visor, que es fácil de determinar de una forma lo bastante precisa, podemos calcular los valores efectivos del resto de parámetros de geometría, y de la velocidad para el margen de distancias estudiado. Así :
| Mo = a / 1000 | (VI) | |
| m = b / (1000 × d) | (VII) | |
| Vef² = 4905 × d / c | (VIII) |
por ejemplo, para un arco de 60 Lbs con una velocidad de salida de 276 fps, en el margen de distancias hasta 50 metros, se obtiene un valor de velocidad efectiva de 257 fps.
La derivada de (V), que se expresa como :
| Y(D) = - b / D² + c | (IX) |
nos da la corrección de mira por cada metro que nos apartamos de la distancia D.
El valor de D que anula la derivada Y(D), es aquella distancia a partir de la cual debemos empezar a bajar visor al acercarnos a la diana, y se determina como :
| Do² = b / c | (X) |
o bien, conociendo m y V como :
| Do² = 2 × m × V² / g | (XI) |
Con todos estos resultados podemos volver ahora a aclarar el tema todavía pendiente de la 'rasante'. La tabla I da las posiciones de visor para una misma geometría, a dos velocidades efectivas, 257 y 300 fps :
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y la tabla II, las distancias que anulan (IX), es decir las distancias a las que corresponde la posición más alta del visor, para cada velocidad.
De la observación de los datos contenidos en estas tablas, se deduce que al pasar de 257 a 300 fps :
- Acortamos el recorrido de mira en 7 mm, es decir un nada despreciable 34%
- El margen de visor que cubre los 10, 15 y 20 metros, se ha reducido a menos de 1mm. Un solo pin a efectos prácticos en 2D. En Campo sería más arriesgado, frente a un 'reloj' a 20 metros, ignorar la diferencia.
- La distancia que requiere la posición más alta de visor se ha alejado 2 metros, acentuando el efecto paralaje a distancias cortas. En 2D un 'verdi' a 5 metros deberia tirarse casi con el pin de 35m si se pretende un lleno al centro. En Campo, en cambio, no afectaría, ya que la distancia reglamentaria mas corta es de 10 metros.
Como justificar pués esta evidencia de 'rasante' para 300 fps sin olvidar el comportamiento de caida que muestra la flecha en su vuelo, tal como vimos en los gráficos 1 i 2 ?
Habrá que volver a la ecuación (IV) para recordar que el segundo término disminuye al aumentar la distancia, mientras que el tercero va creciendo. Cerca de la distancia en la que (IX) se anula, ambos efectos tienden a compensarse. De manera que lo que habría que mover el visor en un sentido para compensar el efecto de paralaje, al acercarnos o alejarnos, es casi lo mismo que habría de moverlo en sentido contario para compensar la diferencia de caida de flecha.
Curiosamente, podemos conseguir lo mismo modificado la geometría del visor y sin variar la velocidad de la flecha. Así al aumentar la distancia vertical ojo a flecha, m, de 98 a 138mm, manteniendo la velocidad efectiva en 257 fps, obtenemos:
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Repitiendo las consideraciones hechas al variar la velocidad, podemos ver que debido a este aumento de m :
- Acortamos el recorrido de mira en 2 mm, es a decir un 10%
- El margen de visor que cubre los 10, 15 y 20 metros se ha reducido, igual que antes, a menos de 1mm.
- La distancia de mira más alta se ha alejado también 2 metros, pasando de 11 a 13.
A pesar de haber ganado menos recorrido de mira total, el efecto 'rasante' conseguido es el mismo. Esto demuestra que no solo podemos obtener 'rasante' de la velocidad, sino también incidiendo en la geometría del sistema de visor. Podemos afirmar pues que él efecto de rasante es inherente al sistema de visor del arco, y que se evidencía cuando por aumento de velocidad, o por variación de la geometría, se aleja suficientemente el punto Do.
El contenido de las tablas I y III queda mejor ilustrado en el siguiente gráfico :
Gráfico 3
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Donde la curva en rojo, marcada A, corresponde al visor con V=257fps y m=98mm, la B en azul al visor con V=300fps y m=98mm, y la C en magenta al visor con V=257fps y m=138mm. Las barras sobre cada curva señalan el margen de distancias para una 'rasante' de un milímetro de mira
Este articulo se ha hecho considerablemente más largo que los demás.
La presentación de los datos y gráficos necessarios en
el esclarecimiento de
la 'rasante' han contribuido notablemente.
En realidad lo más importante de este artículo puede haber pasado
desapercibido entre la discusión, para evitarlo recapitularemos
a continuación los avances obtenidos.
Artículos técnicos de Campo
h'(D) = a + b / D + c × D
(V)
Y(D) = - b / D² + c
(IX)
Do² = b / c
(X)
Vef² = ½ g × d × 1000 / c
(VIII)
Josep Gregori i Font, 4 de Abril de 1999
revisado a 16 de Noviembre de 1999
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